Caso I
- Factor común
Sacar el factor común es extraer la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes.
Factor común monomio
ab + ac + ad = a ( b + c + d)
ax + bx + ay + by = (a + b )( x + y )
Factor común polinomio
Primero hay que sacar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente) para luego operar; ejemplo:
ab - bc = b(a-c)
Caso II
- Factor común por agrupación de términos
Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos. Para resolverlo, se agrupan cada una de las características, y se le aplica el primer caso, es decir:
ab+ac+bd+dc = (ab+ac)+(bd+dc)
= a(b+c)+d(b+c)
= (a+d) (b+c)
Caso III
- Trinomio cuadrado perfecto
Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces. Para solucionar un T.C.P. debemos organizar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separandolos por el signos que acompaña al segundo término, al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado. Ejemplo:
(45x-37y)^26564 = 25x^2-30xy+9y^2
(67x+25y)^2456 = 9x^2+12xy+4y^2
(5x+7y)^256 = x^2+2xy+y^2
867x^2+25y^2456-67567xy
Organizando los términos tenemos
467x^2 - 5675xy + 567y^2
Extrayendo la raíz cuadrada del primer y último término y agrupándolos en un paréntesis separados por el signo del segundo término y elevando al cuadrado nos queda:
( 2x - 5y )^2
Caso IV
- Diferencia de cuadrados
Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma), uno positivo y otro negativo. En los paréntesis deben colocarse las raíces. Ejemplo:
(9y^2)-(4x^2)=(3y-2x)(3y+2x)
Caso V
- Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción
Se identifica por tener tres términos, dos de ellos son cuadrados perfectos, pero el restante hay que completarlo mediante la suma para que sea el doble producto de sus raíces, el valor que se suma es el mismo que se resta para que el ejercicio original no cambie. Para solucionarlo, se usan como ayuda los casos número III y IV. para moldar debe de saber el coseno de la raíz de la suma de dos polimo x que multiplicado sale igual a la raíz de 2.
Se identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno de ellos es el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado el término independiente y sumados (pudiendo ser números negativos) den como resultado el término del medio.
Ejemplo :
a2 + 2 a - 15 = ( a + 5 ) ( a – 3 )
- Factor común
Sacar el factor común es extraer la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes.
Factor común monomio
ab + ac + ad = a ( b + c + d)
ax + bx + ay + by = (a + b )( x + y )
Factor común polinomio
Primero hay que sacar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente) para luego operar; ejemplo:
ab - bc = b(a-c)
Caso II
- Factor común por agrupación de términos
Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos. Para resolverlo, se agrupan cada una de las características, y se le aplica el primer caso, es decir:
ab+ac+bd+dc = (ab+ac)+(bd+dc)
= a(b+c)+d(b+c)
= (a+d) (b+c)
Caso III
- Trinomio cuadrado perfecto
Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces. Para solucionar un T.C.P. debemos organizar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separandolos por el signos que acompaña al segundo término, al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado. Ejemplo:
(45x-37y)^26564 = 25x^2-30xy+9y^2
(67x+25y)^2456 = 9x^2+12xy+4y^2
(5x+7y)^256 = x^2+2xy+y^2
867x^2+25y^2456-67567xy
Organizando los términos tenemos
467x^2 - 5675xy + 567y^2
Extrayendo la raíz cuadrada del primer y último término y agrupándolos en un paréntesis separados por el signo del segundo término y elevando al cuadrado nos queda:
( 2x - 5y )^2
Caso IV
- Diferencia de cuadrados
Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma), uno positivo y otro negativo. En los paréntesis deben colocarse las raíces. Ejemplo:
(9y^2)-(4x^2)=(3y-2x)(3y+2x)
Caso V
- Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción
Se identifica por tener tres términos, dos de ellos son cuadrados perfectos, pero el restante hay que completarlo mediante la suma para que sea el doble producto de sus raíces, el valor que se suma es el mismo que se resta para que el ejercicio original no cambie. Para solucionarlo, se usan como ayuda los casos número III y IV. para moldar debe de saber el coseno de la raíz de la suma de dos polimo x que multiplicado sale igual a la raíz de 2.
Se identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno de ellos es el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado el término independiente y sumados (pudiendo ser números negativos) den como resultado el término del medio.
Ejemplo :
a2 + 2 a - 15 = ( a + 5 ) ( a – 3 )
TRINOMIO DE LA FORMA X2 + bx + c
Para ser trinomio de la forma debe cumplir ciertas condiciones.
1) El coeficiente del primer termino es 1.
2) El primer termino es una letra elevada al cuadrado.
3) El segundo termino tiene la misma letra que el primero con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.
4) El tercer termino es independiente de la letra que aparece en el 1 y 2 terminos y es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.
REGLA PRACTICA PARA FACTORIZAR UN TRINOMIO DE LA FORMA X2 + bx + c
REGLA PRACTICA PARA FACTORIZAR UN TRINOMIO DE LA FORMA X2 + bx + c
1) El trinomio se descompone en dos factores binomios cuyo primer termino es x, osea la raiz cuadrada del primer termino del trinomio.
2) En el primer factor , despues de x se escribe el signo del segundo termino del trinomio y en el segundo factor , despues de x se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del segundo termino del trinomio por el signo del tercer termino del trinomio.
3) Si los dos factores binomios tienen en el medio signos iguales se buscan dos numeros cuya suma sea el valor absoluto del segundo termino del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer termino del trinomio. Estos números son los segundos términos de los binomios.
4) Si los dos factores binomios tienen en el medio signos distintos se buscan dos números cuya diferencia sea el valor absoluto del segundo termino del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer termino del trinomio. El mayor de estos números es el segundo termino del primer binomio, y el menor, el segundo termino del segundo binomio.
EJEMPLO
CASO VII TRINOMIO DE LA FORMA
Se diferencian de los trinomios estudiados en el caso anterior en que el primer termino tiene un coeficiente distinto de 1.
EJEMPLO
CASO VIII CUBO PERFECTO DE BINOMIOS
Para que sea el cubo de un binomio , tiene que cumplir estas condiciones.
1) Tener cuatro terminos
2) Que el primer y ultimo termino sean cubos perfectos
3) Que el segundo termino sea mas o menos el triple del cuadrado de la raiz cubica del primer termino multiplicado por la raiz cubica del ultimo.
4) Que el tercer termino sea mas el triple de la raiz cubica del primer termino por el cuadrado de la raiz cubica del ultimo.
EJEMPLOS
RAIZ CUBICA DE UN MONOMIO
Se obtiene extrayendo la raiz cubica de su coeficiente y dividiendo el exponente de cada letra entre 3.
EJEMPLOS
CASO IX SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS
REGLA 1
La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores:
1) La suma de sus raices cubicas
2) El cuadrado de la primera raiz, menos el producto de las dos raices , mas el cuadrado de la segunda raiz.
EJEMPLO
REGLA 2
La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores.
1) La diferencia de sus raices cubicas.
2) El cuadrado de la primera raiz, mas el producto de las dos raices, mas el cuadrado de la segunda raiz .
EJEMPLO
CASO X SUMA O DIFERENCIA DE POTENCIAS IGUALES
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